YOLOv1损失函数

我们来逐项、逐符号、用通俗语言+例子，彻底讲清楚 YOLOv1 的损失函数（Loss Function）到底在算什么、为什么这样设计。

🎯 损失函数的目标是什么？

YOLOv1 要同时完成三件事：

定位物体（预测边界框的 x, y, w, h）
判断有没有物体（置信度 confidence）
识别物体类别（如“狗”、“车”）

所以它的损失函数必须同时监督这三部分，而且要聪明地分配权重——不能让某一部分“压垮”其他部分。

📐 整体结构：5 个部分相加

YOLOv1 的总损失 $ \mathcal{L} $ 是以下 5 项之和：

项	监督内容	只对哪些网格/框计算？
1️⃣ 坐标损失（x, y）	框中心位置	有物体的网格中，负责预测的那个框
2️⃣ 尺寸损失（w, h）	框宽高	同上
3️⃣ 有物体的置信度损失	confidence 应接近 IoU	同上
4️⃣ 无物体的置信度损失	confidence 应接近 0	所有不含物体中心的网格的所有框
5️⃣ 分类损失	类别概率	有物体的网格（整个网格，不是每个框）

✅ 注意：只有真实物体中心所在的那个网格才算“有物体”。

🔍 逐项详解（配合符号说明）

符号说明（先搞懂这些！）

$ S = 7 $：图像被分成 7×7 网格
$ B = 2 $：每个网格预测 2 个边界框
$ i $：网格索引（从 0 到 $S^2 - 1$，共 49 个）
$ j $：框索引（0 或 1）
$ \mathbb{1}_{ij}^{\text{obj}} $：指示函数
- 如果第 $i$ 个网格中的第 $j$ 个框“负责”预测某个真实物体 → 值为 1
- 否则为 0
$ \mathbb{1}_{i}^{\text{obj}} $：如果第 $i$ 个网格包含某个物体的中心 → 为 1（用于分类损失）
$ x_i, y_i $：模型预测的框中心（相对于网格左上角，归一化到 [0,1]）
$ \hat{x}_i, \hat{y}_i $：真实值（ground truth）
$ w_i, h_i $：预测的宽高（相对于整图，可 >1）
$ \hat{w}_i, \hat{h}_i $：真实宽高
$ C_i $：预测的置信度（confidence）
$ \hat{C}_i $：目标置信度（训练时 = 预测框与真实框的 IoU）
$ p_i© $：预测的“该网格物体属于类别 c”的概率
$ \hat{p}_i© $：真实标签（one-hot 编码，如“狗”=1，其余=0）

第1项：框中心坐标损失（x, y）

$$
\lambda_{\text{coord}} \sum_{i=0}^{S^2} \sum_{j=0}^{B} \mathbb{1}_{ij}^{\text{obj}} \left[ (x_i - \hat{x}_i)^2 + (y_i - \hat{y}_i)^2 \right]
$$

✅ 含义：
只对“负责预测真实物体”的那些框，计算其中心点预测误差。

📌 关键点：

只有一个框会被选中（IoU 更大的那个），所以 $\mathbb{1}_{ij}^{\text{obj}}$ 大部分是 0。
用 L2 损失（平方误差），惩罚大偏差。
乘以 $\lambda_{\text{coord}} = 5$：强调定位很重要！

💡 举例：
真实物体中心在网格 (3,4)，两个预测框 A 和 B。
A 与真实框 IoU=0.6，B=0.3 → 选 A。
只计算 A 的 (x,y) 误差，B 的不算。

第2项：框尺寸损失（w, h）——但用了 √！

$$
\lambda_{\text{coord}} \sum_{i=0}^{S^2} \sum_{j=0}^{B} \mathbb{1}_{ij}^{\text{obj}} \left[ (\sqrt{w_i} - \sqrt{\hat{w}_i})^2 + (\sqrt{h_i} - \sqrt{\hat{h}_i})^2 \right]
$$

✅ 含义：同样只对“负责框”计算宽高误差，但对 w 和 h 开平方后再算误差。

❓ 为什么要开平方？

👉 解决小物体误差被大物体淹没的问题。

假设真实宽 = 0.1（小物体），预测 = 0.2 → 误差 = 0.01（平方后）
真实宽 = 0.9（大物体），预测 = 1.0 → 误差 = 0.01（一样！）
但实际上，小物体预测错一倍，比大物体错一点点更严重！

开平方后：

小物体：√0.1 ≈ 0.316，√0.2 ≈ 0.447 → 差 ≈ 0.131 → 平方 ≈ 0.017
大物体：√0.9 ≈ 0.949，√1.0 = 1.0 → 差 ≈ 0.051 → 平方 ≈ 0.0026

→ 小物体的损失变大了！模型会更关注它。

第3项：有物体的置信度损失

$$
\sum_{i=0}^{S^2} \sum_{j=0}^{B} \mathbb{1}_{ij}^{\text{obj}} (C_i - \hat{C}_i)^2
$$

✅ 含义：让“负责框”的置信度 $C_i$ 接近 它与真实框的 IoU。

如果预测框和真实框完全重合 → IoU=1 → 希望 $C_i = 1$
如果重合度低 → IoU=0.5 → 希望 $C_i = 0.5$

📌 注意：这不是让 confidence=1，而是让它等于 定位质量（IoU）！

第4项：无物体的置信度损失（重点！）

$$
\lambda_{\text{noobj}} \sum_{i=0}^{S^2} \sum_{j=0}^{B} \mathbb{1}_{ij}^{\text{noobj}} (C_i - \hat{C}_i)^2
$$

✅ 含义：让不负责任何物体的框的置信度趋近于 0。

$\mathbb{1}{ij}^{\text{noobj}} = 1 - \mathbb{1}{ij}^{\text{obj}}$
总共有 49 网格 × 2 框 = 98 个预测框
但一张图通常只有 2~5 个物体 → 只有 2~5 个框是“有物体”的
剩下 90+ 个框都是背景！

⚠️ 问题：如果不对这些背景框惩罚，模型会胡乱预测高置信度框（全是假阳性）。

🔧 解决方案：

计算它们的 loss（希望 $C_i = 0$）
但乘以一个小权重 $\lambda_{\text{noobj}} = 0.5$
→ 防止负样本（背景）主导总损失（否则 loss 全被背景控制，物体学不好）

第5项：分类损失

✅ 含义：只对包含物体中心的网格，计算其类别概率误差。

注意：这里没有 j（框索引）！因为 YOLOv1 中一个网格只输出一组类别概率（共享给两个框）
用 L2 损失（也可以用交叉熵，但原论文用 L2）
如果网格没物体，不计算分类 loss

💡 举例：
网格 (2,5) 中心有“猫” → $\hat{p}(\text{cat}) = 1$，其他类=0
模型预测 $p(\text{cat}) = 0.8$ → 误差 = (0.8 - 1)² = 0.04

🧩 为什么这样设计？总结三大智慧

设计	目的
$\lambda_{\text{coord}} = 5$	强调定位精度比分类更重要（检测任务的核心是“在哪”）
$\lambda_{\text{noobj}} = 0.5$	平衡正负样本（98 个框 vs 3 个物体），防止背景噪声淹没信号
√w, √h	让小物体和大物体的定位误差“公平竞争”，提升小物体检测能力

🖼️ 举个完整例子（一张图有 1 个物体）

图像：448×448，含 1 只狗
狗的中心落在网格 #23（即第 23 个网格）
该网格的两个预测框：Box A（IoU=0.7），Box B（IoU=0.4）→ 选 A 负责

那么损失计算如下：

损失项	是否计算？	说明
Box A 的 (x,y) 误差	✅	$\mathbb{1}_{23,0}^{\text{obj}} = 1$
Box A 的 (√w, √h) 误差	✅	同上
Box A 的 confidence 误差	✅	目标 = 0.7
Box B 的所有误差	❌	不负责，$\mathbb{1}_{23,1}^{\text{obj}} = 0$
网格 #23 的分类误差	✅	$\mathbb{1}_{23}^{\text{obj}} = 1$
其他 48 个网格的 96 个框	✅（仅 confidence）	$\mathbb{1}_{ij}^{\text{noobj}} = 1$，希望 confidence≈0